รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
สมการพหุนาม
การแก้สมการตัวแปรเดียว
ในระดับชั้นมัธยมศึกษาเราได้เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองที่อยู่ในรูป ax2+bx + c = 0 เมื่อ a ,b ,c เป็นค่าคงตัว และ a ¹ 0 กันมาแล้ว ซึ่งอาจมีบางสมการที่มีกำลังดีกรีมากกว่าสอง แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในระดับนั้นเราก็แก้สมการโดยใช้การแยกตัวประกอบหรือไม่ก็อาจทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งก็จะสามารถหาคำตอบได้ ในระดับนี้จะกล่าวถึงการแก้สมการที่มีกำลังหรือดีกรีมากกว่าสอง โดยอาศัยทฤษฎีบทเศษเหลือ แต่ก่อนจะกล่าวถึงเศษเหลือที่ได้จากการใช้ทฤษฎีบทนั้นจะขอกล่าวถึงเศษเหลือที่ได้จากการหารโดยวิธีพื้นฐานก่อน
ตัวอย่าง 1 จงหาเศษจากการหาร (3x2 + x-7) + (x – 1)
วิธีทำ
4x - 7
- 3 เศษ - 3
ตอบ เศษ (จากการหาร) = -3
********************************************************************************
ตัวอย่าง 2 จงหาเศษจากการหาร (3x3 + 4x2-7x + 5) ¸(x + 1)
วิธีทำ
x2 - 7x
-8x + 5
13
ตอบ เศษ (จากการหาร) = 13
********************************************************************************
รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem)
เมื่อ P (X) คือพหุนาม anxn + an-1xn-1 + …+ a1x+a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
an,an-1 ,…,a1 , a0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง an ¹ 0 ถ้าหารพหุนาม P (X) ด้วย พหุนาม x-c
เมื่อ c เป็นจำนวนจริงแล้วเศษจะเท่ากับ P (C )
ตัวอย่าง 3 จงหาเศษเมื่อหาร 2x2 – 4x + 8 ด้วย x – 2
วิธีทำ ให้ P (X) = 2x2 – 4x + 8
โดยทฤษฎีเศษเหลือ เมื่อหาร 2x2 – 4x + 8 ด้วย x – 2 จะได้เศษคือ P (2)
P (2) = 2 (2)2 – 4 (2) + 8
= 8
ตอบ ดังนั้นเศษคือ 8
*****************************************************************************************
ตัวอย่าง 4 จงหาเศษเมื่อหาร 3x2 + x - 7 ด้วย x – 1
วิธีทำ ให้ P (X) = 3x2 + x- 7
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร 3x2 + x - 7 ด้วย x – 1 จะได้เศษคือ P (1)
P (1) = 3 (1)2 + (1) – 7
= 3 + 1 – 7
= -3
ตอบ ดังนั้นเศษคือ - 3
******************************************************************************************
ตัวอย่าง 5 จงหาเศษเมื่อหาร 3x3 + 4x2 – 7x + 5 ด้วย x + 1
วิธีทำ ให้ P (X) = 3x3 + 4x2- 7x + 5
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร 3x3 + 4x2 – 7x + 5 ด้วย x + 1 จะได้เศษเหลือ P(-1)
P (-1) = 3 (-1)3 + 4 (-1)2 – 7 (-1) + 5
= 13
ตอบ ดังนั้นเศษคือ 13
รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
ตัวอย่าง 6 จงหาเศษเมื่อหาร (x3 – 5x2 – 3x + 15) ด้วย (x + 2)
วิธีทำ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ x – c = x + 2 = x – (-2)
c = -2
P (-2) = (-2)3 – 5 (-2)2 – 3 (-2) + 15
= - 7
ตอบ ดังนั้นเศษคือ - 7
*******************************************************************************
ตัวอย่าง 7 จงหาเศษเมื่อหาร (x9 + a9) ด้วย (x + a)
วิธีทำ P (-a) = (-a)9 + a9
= -a9 + a9
= 0
ตอบ ดังนั้นเศษคือ 0
*******************************************************************************
ตัวอย่าง 8 จงหาเศษเมื่อหาร 3x3 + 5x2 – 6x + 18 ด้วย x + 3
วิธีทำ ให้ P (X) = 3x3 + 5x2 – 6x + 18
เพราะตัวหารคือ x + 3 = x – (-3) ได้ C = -3 = x – (-3) ได้ c = -3
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ
เมื่อหาร 3x3 + 5x2 – 6x + 18 ด้วย x + 3 จะได้เศษคือ P (-3)
P (-3) = 3 (-3)3 + 5 (-3)2 – 6 (-3) + 18
= 0
ตอบ ดังนั้นเศษคือ 0
เราพบว่า x + 2 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ 3x3 + 5x2 – 6x + 18
เพราะเศษจากการหารคือ 0 ซึ่งเราสามารถที่จะหาตัวประกอบตัวอื่น ๆ ได้อีก โดยการใช้ทฤษฎีบทที่จะกล่าวต่อไปนี้
เมื่อ P (X) คือพหุนาม anxn + an-1xn-1 + …+ a1x+a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
an,an-1 ,…,a1 , a0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง an ¹ 0 พหุนาม P (X) นี้จะมี x-c เป็นตัวประกอบ
ก็ต่อเมื่อ P (C ) = 0
รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
ตัวอย่าง 9 จงแสดงว่า x – 2 เป็นตัวประกอบของ 2x3 – 3x2 + x – 6
วิธีทำ ให้ P (X) = 2x3 – 3x2 + x – 6
จะได้ P (2) = 2 (2)3 + 3 (2)2 (2) – 6
= 2 (8) – 3 (4) + 2 – 6
= 0
ตอบ ดังนั้น x – 2 เป็นตัวประกอบของ 2x3– 3x2 + x – 6
*******************************************************************************
ตัวอย่าง 10 จงแสดงว่า x – 1 เป็นตัวประกอบของ x3 – 7x + 6
วิธีทำ ให้ P (X) = x3 – 7x + 6
จะได้ P (1) = (1)3 - 7 (1) + 6
= 0
ดังนั้น x – 1 เป็นตัวประกอบของ x3 – 7x + 6
นั่นคือ x3 – 7x + 6 = (x – 1) A
นำ x- 1 ไปหาร x3 – 7x + 6 จะได้ x2 –3x + 2
แสดงว่า x3 – 7x + 6 = (x – 1) (x2 – 3x + 2)
= (x – 1) (x – 2) (x +3)
ตอบ ดังนั้น x3 – 7x + 6 = (x – 1) (x – 2) (x - 3)
ตัวอย่าง 11 จงหาสมการ P (X) เมื่อคำตอบของสมการคือ -1, -2 , -3
วิธีทำ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้
x + 1, x + 2 , x + 3 เป็นตัวประกอบของ P (X)
ดังนั้น P (X) = (x + 1) (x + 2) (x +3)
= (x2 + 3x + 2) (x +3)
= x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0
*******************************************************************************
เราแยกตัวประกอบของพหุนามโดยอาศัยทฤษฎีเศษเหลือและทฤษฎีบทตัวประกอบ ซึ่งทฤษฎีบทเหล่านี้ใช้ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริงใด ๆ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น โดยแยกพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ เมื่อ an = 1
กับ เมื่อ an ¹ 1
ถ้า x – c เป็นตัวประกอบของพหุนาม P (X) = xn +an-1 xn-1 + … + a1x+a0 โดยที่ c และสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจำนวนเต็ม แล้วจะได้ว่า c เป็นตัวประกอบของ a0
รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
ดังนั้นในการหา c จึงพิจารณาจากตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มของ a0 นั่นคือเมื่อ an = 1 เราแยกตัวประกอบของพหุนาม P (X) โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือดังนี้
1. หาตัวประกอบ c ของ a0 ที่ทำให้ P (C) = 0
2. นำ x – c ที่หาได้ ไปหาร P(X) ผลหารที่ได้รับจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีลดจาก P(X) อยู่ 1
3. ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ โดยใช้ขั้นข้อ 1 และข้อ 2 จนกว่าดีกรีที่เหลือเป็นสอง ซึ่งสามารถใช้วิธีการแยกตัวประกอบเบื้องต้นได้
ตัวอย่าง 12 จงแยกตัวประกอบ x3 + 3x2 + x - 2
วิธีทำ ให้ p (X) = x3 + 3x2 + x - 2
จำนวนเต็มที่หาร -2 ลงตัวคือ + 1 , + 2
พิจารณา p(-2)
p(-2) = (-2)3 + 3 (-2)2 + (2) –2
= -8 + 12 – 2 –2
= 0
ดังนั้น x + 2 เป็นตัวประกอบ x3 + 3x2 + x - 2
นำ x + 2 ไปหาร x3 + 3x2 + x – 2 ได้ผลหาร x2 + x – 1
ดังนั้น x3 + 3x2 + x – 2 = (x + 2) (x2 + x – 1 )
ต่อไปแยกตัวประกอบของ x2 + x – 1 (ให้ผู้เรียนลองทำต่อไปเอง)
******************************************************************************
ตัวอย่าง 13 จงแยกตัวประกอบของ x4 – x3 – 2x2 – 4x – 24
วิธีทำ ให้ P (X) = x4 – x3 – 2x2 – 4x – 24
แต่เพราะ p (1) , p (-1) , p (2) ไม่เท่ากับศูนย์
P (-2) = (-2)4 - (-2)3 –2 (-2)2 –4 (-2) – 24 = 0
ดังนั้น x + 2 เป็นตัวประกอบของ x4- x3 -2 x2 – 4x –24
นำ x + 2 ไปหาร x4 - x3 –2x2 -4x –24 ได้ผลหารเป็น x3 – 3x2 + 4x –12
ดังนั้น x4 – x3 –2x2 –4x –24 = (x + 2) (x3 – 3x2 + 4x -12)
= (x + 2)[(x3 – 3x2)+4(x - 3)]
= (x + 2)[x2(x - 3)+4(x - 3)]
= (x + 2)(x - 3)(x2 + 4)
รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
เมื่อ an ¹ 1 เราแยกตัวประกอบได้โดยอาศัยทฤษฎีบทต่อไปนี้
ให้ p(X) คือพหุนามอยู่ในรูป an xn + an-1xn-1 +…+a1x+a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ an ,an-1,…,a1,a0 เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง an¹ 0
ถ้า x -
ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
m จะเป็นตัวประกอบของ an
k จะเป็นตัวประกอบของ a0
ตัวอย่าง 14 จงแยกตัวประกอบของ 3x3 + x2 + 2x + 6
วิธีทำ ให้ p (X) = 3x3 + x2 + 2x + 6
เนื่องจากจำนวนเต็มที่หาร +6 ลงตัวคือ + 1, +2 , +3 , +6 (แทน k)
และจำนวนเต็มที่หาร 3 ลงตัวคือ + 1 , +3 (แทน m)
ดังนั้น จำนวนตรรกยะ ) = 0 จะเป็นจำนวนที่อยู่ในกลุ่มต่อไปนี้
คือ +1 , +2 , +3 , +6 , +
พิจารณา p(-1)
p(-1) = 3(-1)3 + (-1)2 +2 (-1) + 6
= -3 + 1 –2 +6
= 2 ¹ 0
แสดงว่า x + 1 ไม่เป็นตัวประกอบของ p(X)
พิจารณา p(-2)
p(-2) = 3(-2)3 + (-2)2 + 2 (-2) +6
= - 24 + 4 –4 +6
= - 18 ¹ 0
แสดงว่า x + 2 ไม่เป็นตัวประกอบของ p(X)
พิจารณา p ( -3)
p (-3) = 3(-3)3 + (-3)2 + 2 (-3) + 6
= - 81 + 9 – 6 + 6 ¹ 0
แสดงว่า x + 3 ไม่เป็นตัวประกอบของ p ( X)
รายวิชา คณิตศาสตร์ ค 40201 โปรแกรมเสริม ศูนย์คณิต – วิทย์ ม.4/1,ม.4/2
พิจารณา p (-6)
p (-6) = 3 (-6)3 + ( - 6)2 + 2 (-6) + 6
¹ 0
แสดงว่า x + 6 ไม่เป็นตัวประกอบของ p (X)
สำหรับการพิจารณาต่อไป ให้ผู้เรียนพิจารณาเอง
*******************************************************************************
ตัวอย่าง 15 จงแยกตัวประกอบ 3x3 + 10x2 – 16x -32
วิธีทำ ให้ p(X) = 3x3 + 10x2 – 16x -32
เนื่องจากจำนวนเต็มที่หาร -32 ลงตัวคือ + 1 , +2 , +4 , +8 , +16 (แทน k )
และจำนวนเต็มที่หาร +3 ลงตัวคือ +1 , +3 (แทน m)
ดังนั้น จำนวนตรรกยะ ) = 0 จะเป็นจำนวนที่อยู่ในกลุ่มต่อไปนี้
คือ +1 , +2 , +4 , +8 , +16 , + , + , + , + , +
พิจารณา p (- )
p(- ) = 3(- )3 + 10(- )2 - 16 (- ) -32
นั่นคือ x +
นำ x +
นั่นคือ 3x3 + 10x2 – 16x –32 = (x +
= (x +
= (x +
